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    初一下冊(cè)幾何證明_證明書

    發(fā)布時(shí)間:2017-04-11  編輯:admin 手機(jī)版

    初一下冊(cè)幾何證明
    1.已知在三角形ABC中,BE,CF分別是角平分線,D是EF中點(diǎn),若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z,求證:x=y+z
    證明;過E點(diǎn)分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點(diǎn).
    過F點(diǎn)分別作AC,BC上的高交于P,Q點(diǎn).
    根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
    過D點(diǎn)做BC上的高交BC于O點(diǎn).
    過D點(diǎn)作AB上的高交AB于H點(diǎn),過D點(diǎn)作AB上的高交AC于J點(diǎn).
    則X=DO,Y=HY,Z=DJ.
    因?yàn)镈 是中點(diǎn),角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME,ME=2HD
    同理可證FP=2DJ。
    又因?yàn)镕Q=FP,EM=EN.
    FQ=2DJ,EN=2HD。
    又因?yàn)榻荈QC,DOC,ENC都是90度,所以四邊形FQNE是直角梯形,而D是中點(diǎn),所以2DO=FQ+EN
    又因?yàn)?br>FQ=2DJ,EN=2HD。所以DO=HD+JD。
    因?yàn)閄=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
    2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若∠BON=108°,請(qǐng)問結(jié)論BM=CN是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由。
    當(dāng)∠BON=108°時(shí)。BM=CN還成立
    證明;如圖5連結(jié)BD、CE.
    在△BCI)和△CDE中
    ∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
    ∴ΔBCD≌ ΔCDE
    ∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
    ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
    ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
    ∴∠MBC=∠NCD
    又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
    ∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
    3.三角形ABC中,AB=AC,角A=58°,AB的垂直平分線交AC與N,則角NBC=( )

    因?yàn)锳B=AC,∠A=58°,所以∠B=61°,∠C=61°。
    因?yàn)锳B的垂直平分線交AC于N,設(shè)交AB于點(diǎn)D,一個(gè)角相等,兩個(gè)邊相等。所以,Rt△ADN全等于Rt△BDN
    所以 ∠NBD=58°,所以∠NBC=61°-58°=3°
    4.在正方形ABCD中,P,Q分別為BC,CD邊上的點(diǎn)。且角PAQ=45°,求證:PQ=PB+DQ
    延長(zhǎng)CB到M,使BM=DQ,連接MA
    ∵M(jìn)B=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠
    ∴三角形AMB≌三角形AQD
    ∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ
    ∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ
    ∵∠MAP=∠PAQ
    AM=AQ AP為公共邊
    ∴三角形AMP≌三角形AQP
    ∴MP=PQ
    ∴MB+PB=PQ
    ∴PQ=PB+DQ
    5.正方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點(diǎn)P,求證DP⊥NP
    ∵直角△BMP∽△CBP
    ∴PB/PC=MB/BC
    ∵M(jìn)B=BN
    正方形BC=DC
    ∴PB/PC=BN/CD
    ∵∠PBC=∠PCD
    ∴△PBN∽△PCD
    ∴∠BPN=∠CPD
    ∵BP⊥MC
    ∴∠BPN+∠NPC=90°
    ∴∠CPD+∠NPC=90°
    ∴DP⊥NP
    2
    1.已知在三角形ABC中,BE,CF分別是角平分線,D是EF中點(diǎn),若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z,求證:x=y+z
    證明;過E點(diǎn)分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點(diǎn).
    過F點(diǎn)分別作AC,BC上的高交于P,Q點(diǎn).
    根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
    過D點(diǎn)做BC上的高交BC于O點(diǎn).
    過D點(diǎn)作AB上的高交AB于H點(diǎn),過D點(diǎn)作AB上的高交AC于J點(diǎn).
    則X=DO,Y=HY,Z=DJ.
    因?yàn)镈 是中點(diǎn),角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME,ME=2HD
    同理可證FP=2DJ。
    又因?yàn)镕Q=FP,EM=EN.
    FQ=2DJ,EN=2HD。
    又因?yàn)榻荈QC,DOC,ENC都是90度,所以四邊形FQNE是直角梯形,而D是中點(diǎn),所以2DO=FQ+EN
    又因?yàn)?br>FQ=2DJ,EN=2HD。所以DO=HD+JD。
    因?yàn)閄=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
    2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若∠BON=108°,請(qǐng)問結(jié)論BM=CN是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由。
    當(dāng)∠BON=108°時(shí)。BM=CN還成立
    證明;如圖5連結(jié)BD、CE.
    在△BCI)和△CDE中
    ∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
    ∴ΔBCD≌ ΔCDE
    ∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
    ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
    ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
    ∴∠MBC=∠NCD
    又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
    ∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
    3.三角形ABC中,AB=AC,角A=58°,AB的垂直平分線交AC與N,則角NBC=( )

    因?yàn)锳B=AC,∠A=58°,所以∠B=61°,∠C=61°。
    因?yàn)锳B的垂直平分線交AC于N,設(shè)交AB于點(diǎn)D,一個(gè)角相等,兩個(gè)邊相等。所以,Rt△ADN全等于Rt△BDN
    所以 ∠NBD=58°,所以∠NBC=61°-58°=3°
    4.在正方形ABCD中,P,Q分別為BC,CD邊上的點(diǎn)。且角PAQ=45°,求證:PQ=PB+DQ
    延長(zhǎng)CB到M,使BM=DQ,連接MA
    ∵M(jìn)B=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠
    ∴三角形AMB≌三角形AQD
    ∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ
    ∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ
    ∵∠MAP=∠PAQ
    AM=AQ AP為公共邊
    ∴三角形AMP≌三角形AQP
    ∴MP=PQ
    ∴MB+PB=PQ
    ∴PQ=PB+DQ
    5.正方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點(diǎn)P,求證DP⊥NP
    ∵直角△BMP∽△CBP
    ∴PB/PC=MB/BC
    ∵M(jìn)B=BN
    正方形BC=DC
    ∴PB/PC=BN/CD
    ∵∠PBC=∠PCD
    ∴△PBN∽△PCD
    ∴∠BPN=∠CPD
    ∵BP⊥MC
    ∴∠BPN+∠NPC=90°
    ∴∠CPD+∠NPC=90°
    ∴DP⊥NP

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