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奇妙的自然數(shù)
自然數(shù)
在數(shù)學(xué)中，是指正整數(shù)(1, 2, 3, 4...)。前面的定義通常在數(shù)論中使用;而在集合論和計算機科學(xué)中，則喜歡使用或非負整數(shù)(0, 1, 2, 3, 4...)這種定義。自然數(shù)通常有兩個作用：可以被用來計數(shù)(如“有3個蘋果”)，也可用于排序(如“這是國內(nèi)第3大城市”)。自然數(shù)有關(guān)整除性的特性，例如素數(shù)的分布，屬于數(shù)論研究范圍的課題。有關(guān)計數(shù)的問題，比如Ramsey理論在組合學(xué)中研究。數(shù)學(xué)家一般以mathbb代表以自然數(shù)組成的集合。此集合無上界而可數(shù)。
歷史與0的定性
自然數(shù)由數(shù)數(shù)目而起。古希臘人最早研究其抽象特性，當中畢達哥拉斯學(xué)派更視之為宇宙之基本。其它古文明也對其研究作出極大貢獻，尤其以印度對0的接受，為人稱道。零早于公元前400年被巴比倫人用作數(shù)碼使用�，斞湃擞诠�200年將零視為數(shù)字，但未與其它文明有所交流。現(xiàn)代的觀念由印度學(xué)者Brahmagupta于公元628年提出，經(jīng)阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人開始時仍對零作為數(shù)字感到抗拒，認為零不是一個“自然”數(shù)。19世紀末，集合論者給自然數(shù)一個較嚴謹?shù)亩x。據(jù)此定義，把零(對應(yīng)于空集)包括于自然數(shù)內(nèi)更為方便。邏輯論者及電算機科學(xué)家，接受集合論者的定義。而其他一些數(shù)學(xué)家，主要是數(shù)論學(xué)家，則依從傳統(tǒng)把零拒之于自然數(shù)之外。
符號
數(shù)學(xué)家們使用 N 或 mathbb 來表示所有自然數(shù)的集合。這是一個可數(shù)的無窮集合。為了明確的表示不包含0，正整數(shù)集合一般如下表示：
N+ 或
mathbb^
Z+ 或
mathbb^而非負整數(shù)集合一般如下表示：
N0 或
mathbb^
Z+0 或
mathbb^_
有些作者也使用 W 或 mathbb 來表示“所有的數(shù)”的集合。
定義
要給出自然數(shù)的嚴謹定義并非易事。皮亞諾公設(shè)提出自然數(shù)要適合五點：
有一起始自然數(shù) 0。
任一自然數(shù) a 必有后繼(successor)，記作 a +1。
0 并非任何自然數(shù)的后繼。
不同的自然數(shù)有不同的后繼。
(數(shù)學(xué)歸納公設(shè))有一與自然數(shù)有關(guān)的命題。設(shè)此命題對 0 成立，而當對任一自然數(shù)成立時，則對其后繼亦成立，則此命題對所有自然數(shù)皆成立。
若把 0 除出自然數(shù)之外，則公設(shè)內(nèi)的 0 要換作 1。集合論中的一般構(gòu)作法是把一自然數(shù)看作是所有比它少的自然數(shù)組成的集，即 0 ={ }，1 = ，2 = ，3 = ……若有人把自然數(shù)看作集合，通常就是如上。 在此定義下，在集合 n 內(nèi)就有 n 個元素;而若 n 小于 m，則 n 會是 m 的子集。
性質(zhì)
自然數(shù)加法可經(jīng)a+0=a及a+(b+1)=(a+b)+1遞歸定義而成。因而得出可置換幺半群(N,+)，是由1生出的自由幺半群，其中幺元為0。此幺半群服從消去律，可嵌入一群內(nèi)：最小的是整數(shù)群。 同理，自然數(shù)乘法times 可經(jīng)a times 0=0及a times (b+1)=ab+a 得出。而(N, times)亦是可置換幺半群;times和+服從分配律：:a times (b+c)=ab+ac。我們說a le b當且僅當有自然數(shù)c使得a+c=b。(N, le)是一個良序集，即每個非空子集都有一個最小的自然數(shù)。此序也和加法及乘法兼容，即若a，b和c都是自然數(shù)且a le b，則a+c le b+c及ac le bc。給出兩個自然數(shù)a和b而b ne 0，可找到唯一兩個自然數(shù)q及r使得:a=bq+rq稱為“商數(shù)”而r稱為“余數(shù)”。 若r=0則a可被b 除盡，記為a|b。相關(guān)慨念有可除性，輾轉(zhuǎn)相除，質(zhì)數(shù)及其它數(shù)論慨念。
推廣
自然數(shù)有兩種推廣：序數(shù)用作排列，而基數(shù)用于判定集合的大小。對于有限序列或有限集合，序數(shù)及基數(shù)皆與自然數(shù)同。en:Natural number